Auteur : Mathologger

URL:: Why don't they teach Newton"s calculus of what comes next? (video Youtube)

C'est une vidéo de Mathologer sur sa chaine youtube au sujet comment approximer une suite avec des polynômes, mais cela m'a inspiré et j'ai trouvé un lien curieux avec l'Intégrale de parité de Gérard Langlet

Considérons la suite mystère :
Pour trouver le nombre suivant de la suite, il est naturel de chercher les différences:

Il devient possible de calculer le terme suivant : 256

Est-il possible de trouver une formule générale pour le n-ième terme, voir une formule pour -toutes_ les séquences dont les différences successives se terminent par une rangée de termes constants ?

Oui, car on peut faire un parallèle avec l'analyse : séquences fonctions, différencesdérivées, sommesintégrales, équations aux différenceséquations différentielles, etc.

Dans la suite on considérera comme le premier terme de la séquence et comme le second etc. Dans le graphe de la fonction, est aussi la pente de la droite joignant les deux points et on posera et plus généralement

Comme nous avons plusieurs rangées, on utilisera des exposants pour les différencier :


etc

Si l'hélicon est continué uniquement de 1, la fonction est constituée de puissances de 2 : . Inversement, si on a .

Donc joue le même rôle que dans le calcul des différences.

Essayons avec :

On a

Pour les cubes :

Et bien sûr

Enfin, comme pour le calcul différentiel, on a la linéarité :
Ce qui permet de calculer les séquences pour n'importe quel polynôme. Le fanion de tous les polynômes, et seulement eux, se terminent par une rangés constante. La formule d'interpolation de Lagrange permet de calculer la séquence, mais il y a plus simple :

Un exemple :

On part de l'hélicon 1,7,2,8,2
On multiplie chaque i-ième terme par le coefficient binomial , et on somme :
On remplace chaque coef par sa valeur :
On simplifie :

Autre exemple avec la séquence mystère du début : dont l'hélicon était 1 1 1 1 1... : on obtient
Au fait, quelle est cette séquence ? elle est décrite ici : Partitions d'un entier

Ou avec la séquence . On calcule le fanion, on utilise la formule et on obtient
et bien sûr . Qu'y a-t-il après ? eh bien
Trivial, non ? Mais bien sûr ce pourrait être n'importe quoi d'autre puisque la formule produit toujours quelque chose à partie de n'importe quelle séquence initiale. Mais en général la formule de Newton capture bien quelque chose d'intéressant. Par exemple avec notre séquence mystère (il est vrai que son fanion est très simple)

Si nous considérons un fanion constitué d'une infinité de 1, nous constituons la séquence des puissances de 2. Donc
donc
à comparer avec

en posant

est pair si dans le développement binaire de n DB(n) il se trouve au moins un zéro situé au même rang qu'un 1 dans DB(k)

est impair si chaque fois que k possède un 1 dans son développement binaire DB(k), il en est de même pour n au même range.

est impair (p& (n-k)) == true

Si n est pair, parité = parité

Si n est impair, parité = parité si r pair, 0 sinon (mod 2).

exemple,

Par convention on notera n puissance 2 tombante ou n to the falling 2 l'expression , et similairement n puissance 3 tombante vaudra , etc.

Du coup, ce qui est vraiment similaire à

Et cette formule marche pour tout n positif, non seulement entier, mais pour tout réel positif ! Par exemple pour n=1/2, on trouve

Ce qui est remarquable, c'est que, tout comme , on a maintenant

Il faut cette fois progresser vers le haut.

Il faut faire un choix arbitraire pour le premier "?" à gauche, par exemple 0. Et bien sûr on a alors

ce qui permet de calculer la somme de notre séquence 0 1 4 9. Notre séquence somme a pour hélicon 0 0 1 2 que nous convoluons avec les coefficients binomiaux
donc ici En fait comme on a ajouté une ligne il faut ajouter 1 à n pour retrouver la célèbre formule

Soit la suite de Fibonacci :

donc
avec , et
Cette équation aux différences définit la suite de Fibonacci. On peut la résoudre de la même manière qu'une équation différentielle linéaire du second ordre. ET cela donne la formule de Binet pour le nième terme :

Le truc est de remarquer que les différences successives de la suite de Fibonacci sont simplement décalées, tout comme les dérivées de et donc que la formule doit être une somme d'exponentielles

Dérivation :
Intégration :
Cette dernière formule est le théorème fondamental du calcul des séquences

MacLaurin vs Gregory-Newton :

La seule chose qui ne marche pas avec le calcul de différences c'est la "chain rule" :

Lorsqu'on discrétise une fonction ou un signal, et qu'on veut en calculer par exemple l'intégrale, il suffit de mettre à l'échelle en remplaçant le pas de quantification par 1.

Du coup on écrit

Et le terme i donne l'intégrale entre 0 et 4. Pas très précis. Sauf qu'on peut aussi calculer les différences et appliquer Gregory-Newton, ce qui nous donner une bien meilleure approximation.

Une vidéo sur le calcul ombral (lien Youtube) (Umbral calculus)
et Sa suite # The Abstract World of Operational Calculus (video Youtube)

et aussi What's umbral calculus about? (page web sur math.stackexchange)

Dans le cas d'une suite binaire constituée de 0 et de 1 on peut associer à chaque suite finie l'entier formé de ses bits.
La différence XOR sera donnée par la fonction suivante :

Si n = , comme et , on a

Mais ne confondons pas et ...
exemple A VOIR

Attention avec la définition ci dessus la fonction prend mal en compte les 0 initiaux...

d(n) = gray(n) - 2**floor(log2(x))